行動計量学

担当: 菊地

第9回 2標本検定

9.1 母平均の差の検定

二つの正規母集団N(μ₁,σ₁²)、N(μ₂,σ₂²)のそれぞれから大きさm、nの標本{X₁, ..., X_m}、{Y₁, ..., Y_n}を抽出する。

このとき、帰無仮説は

H₀ : μ₁=μ₂

であり、対立仮説は、

H₁ : μ₁≠μ₂

分散が等しい場合

二つの分散が等しく、σ₁²=σ₂²=σ²の場合には、二つの標本を合併した標本分散

s² = {(m-1) s₁² + (n-1) s₂²} / (m+n-2)

を用いた2標本t統計量

t = (X_mean - Y_mean) / {s √(1/m + 1/n)}

を検定統計量として用いる。このtは、帰無仮説が正しければ、自由度m+n-2のt分布t(m+n-2)に従う。

よって、|t|>t_α/2(m+n-2)のとき、棄却される。

分散が等しくない場合

二つの母分散が等しくない場合には、ウェルチの近似法を用いて、t統計量を計算し検定統計量として用いる。

まず、tは、

t = (X_mean - Y_mean) / √(s₁²/m + s₂²/n)

として計算し、これを検定統計量として用いる。このtは、

に最も近い整数をν^*とすると、自由度ν^*のt分布t(ν^*)に近似的に従う。

よって、|t|>t_α/2(ν^*)のとき、棄却される。この検定をウェルチの検定と呼ぶ。

なお、標本X_i、Y_iが、それぞれ、すべて対応して対として観測されている場合を対標本と呼ぶ。このような場合には、二つの母集団としてではなく、差X_i-Y_iを計算してそれをデータと見なし、母平均の差の検定ではなく、単なる母平均の検定を行う。

9.2 母分散の比の検定

帰無仮説は

H₀ : σ₁²=σ₂²

であり、対立仮説は、

H₁ : σ₁²≠σ₂²

である。ここで帰無仮説が正しい場合には、フィッシャーの分散比

F = s₁² / s₂²

は、自由度(m-1,n-1)のF分布F(m-1,n-1)に従うので、これを検定統計量として用いる。

すなわち、F_1-α/2(m-1,n-1)<=F<=F_α/2(m-1,n-1)のときには棄却せず、F< F_1-α/2(m-1,n-1)、または、F>F_α/2(m-1,n-1)のときには、棄却する。このようなF統計量を用いた検定をF検定と呼ぶ。